Wyobraź sobie, że bierzesz udział w teleturnieju. Jego zasady są proste - dostępne są trzy bramki ponumerowane od 1 do 3, z czego w jednej jest samochód, a w pozostałych dwóch znajdują się kozy. Bramki wyglądają identycznie, nie można poznać co kryją po wyglądzie, a umiejscowienie samochodu jest losowe.

Teleturniej prowadzony jest przez prowadzącego, który wie, w której bramce jest nagroda. Zadaniem gracza jest wybór bramki, w której - wg niego - znajduje się samochód. Po wyborze zawartości bramek nie są od razu odsłaniane. Prowadzący - wiedząc, w której bramce jest auto - ujawnia zawartość jednej z niewybranych bramek, w której nagrody na pewno nie ma. Następnie proponuje ci możliwość zmiany bramki z tej, którą wybrałeś/aś na początku na drugą, która nie jest jeszcze odsłonięta.

W tym momencie możliwe są dwie opcje - albo w wybranej przez Ciebie bramce jest auto, a prowadzący oferuje Ci zamianę na kozę, albo też wybrałeś kozę, a prowadzący oferuje Ci zamianę na auto.

Odrzucając na bok emocje i kierując się wyłącznie prawdopodobieństwem wygrania samochodu, czy racjonalna jest zamiana bramki, czy też obstawianie przy pierwotnym wyborze? A może jest to bez znaczenia?

Odpowiedź: Gracz powinien zmienić bramkę, bo szansa, że znajduje się tam nagroda jest dwukrotnie większa.

Wydaje się to dziwne, lecz można to dość łatwo udowodnić. Na pierwszy rzut oka, zmiana bramki powinna być nam obojętna, bo prawdopodobieństwo, że koza jest w jednej z dwóch bramek wynosi 1/2. Tutaj wpadamy w pułapkę, gdyż nie bierzemy pod uwagę bardzo cennej informacji jaką jest to, w której bramce auta nie ma. Cofnijmy się do pierwszego wyboru. Prawdopodobieństwo wyboru bramki z autem na początku konkursu oczywiście wynosi 1/3 - w dwóch na trzech przypadkach wybierzemy kozę, w jednym na trzech auto. Rozważmy najpierw przypadek wylosowania bramki z autem. Nie wiemy, że w naszej bramce jest auto. Prowadzący ujawni jedną z pozostałych bramek, w której znajduje się koza. Oczywiście, w drugiej bramce też jest koza. Ryzykując zamianę na nią tracimy auto i przegrywamy.

Jeśli jednak wybraliśmy na początku bramkę z kozą, to prowadzący musi ujawnić zawartość bramki, w której znajduje się druga koza. Oznacza to, że w nieodsłoniętej bramce zostało auto, i zamiana oczywiście się nam opłaca.

Dochodzimy więc do sedna - jeśli w pierwszym wyborze trafimy na auto i zamienimy bramkę, przegrywamy. Jeśli w pierwszym wyborze trafimy na kozę i zamienimy bramkę - wygrywamy. Ale na początku napisałem, że prawdopodobieństwo wybrania bramki z kozą wynosi 2/3. Stąd, prawdopodobieństwo wygranej przy założeniu, że zmienimy początkowo wybraną bramkę wynosi też 2/3. Jest zatem dwa razy większe od prawdopodobieństwa wygranej przy zostaniu przy swojej bramce (=1/3). I tak oto dziwne stało się prawdziwe :P

Ta teoria może być też łatwo urzeczywistniona poprzez zwiększenie ilości bramek. Załóżmy, że w programie jest 100 bramek, w 99 są kozy a w jednej auto. Wybieramy początkową bramkę, po czym prowadzący ujawnia 98 bramek z kozami tak, byśmy pozostali przy wyborze między zamianą bramki na drugą, lub pozostaniu przy własnej. Prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem trafimy w auto jest równe 1% (1/100). W 99 na 100 przypadków (w których trafimy kozę) prowadzący ujawni bramki tak, że w nieodsłoniętej, niewybranej bramce musi znajdować się auto. Widać więc, że przy zamianie bramki z 99% prawdopodobieństwem wygramy auto :)

A tu wyjaśniam za pomocą wzorków, jak to udowodnić:

Zagadka oparta na artykule o Paradoksie Monty Halla, więcej na ten temat na Wikipedii